LOTKA - VOLTERRA

Vito Volterra (1860-1940), físico y matemático italiano fue catedrático de la universidad de Roma y senador. Su oposición al fascismo y su origen judío significaron la expulsión de su cátedra y de las sociedades científicas italianas. Exiliado en Francia hasta 1939, impartió cursos en distintos países, entre ellos España. Volterra desarrolló la solución a las ecuaciones integrales de límites variables que lleva su nombre y tras la primera guerra mundial, en la que se alistó en el cuerpo de ingenieros, se interesó por la aplicación matemática en la biología, extendiendo y desarrollando la obra del matemático belga Pierre François Verhulst, uno de los “padres” de la ecuación logística que comenté en el post sobre “teoría del caos”, cuando sobre un problema de poblaciones de peces diseñó una ecuación logística sobre el crecimiento de poblaciones competitivas expresada como sistema de dos ecuaciones diferenciales.Alfred James Lotka (1880-1949), químico, demógrafo y matemático norteamericano de origen ucraniano escribió un libro de Biología teórica y varios artículos sobre procesos oscilantes en Química, en donde de manera independiente a Volterra trabajó con la misma ecuación logística de Verhulst pero con el fin de describir una reacción química en la cual las concentraciones oscilan y estableció el modelo que hoy se conoce con el nombre de ambos Lotka-Volterra y que representa aún la base de los estudios teóricos acerca de la dinámica de poblaciones y otros modelos matemáticos en campos tan diversos como la economía, interdependencia compleja, sostenibilidad, tratamiento de plagas, etc.El sistema de ecuaciones diferenciales Lotka-Volterra (en adelante Modelo Lotka-Volterra) tiene un interés especial en el campo del Pensamiento Sistémico debido a que reúne dos características clave: aún tratándose de un modelo no lineal es sencilla de modelar con medios informáticos (aunque existen extensiones posteriores para hacerla más “realista”) y hace tangible los conceptos a veces abstractos de interdependencia y acoplamiento, esenciales desde la perspectiva sistémica pues estas son “características isomorfas” a todos los sistemas. En otro post profundizaré sobre el “isomorfismo”, verdadera madre de todas las batallas para los sistémicos.

Breve Referencia Histórica

Propuesto por primera vez en 1925 por Vito Volterra (Italia).
Objetivo: Describir las variaciones observadas en las poblaciones de peces en el Mar Adrático
Alfred Lotka (USA) trabajó sobre el mismo sistema de ecuaciones, pero con el fin de descibir una reacción química en la cual las concentraciones oscilan (1926)
Recientemente se ha intentado aplicar este juego de ecuaciones inclusive a modelación económica o turismo sostenible.

Postulado:
Consumidores y recursos pueden ser considerados como partículas que interactúan en un medio homogéneo (“gas”). Bajo estas condiciones la tasa de encuentros entre consumidores y recursos (“tasa de reacción”) será proporcional al producto de sus poblaciones (“masas”), es decir, se rigen por la “ley de acción de masas”.

FORMULACION:
1. La velocidad con que varía la población de presas x es proporcional a la población existente en el momento t.
2. La velocidad con que varía la población de presas x es proporcional al número de encuentros con los predadores y.

Para los predadores (y), la velociodad de variación de la población sera:
1.Proporcional al número de predadores (y) en el momento t.
2.Propocional al número de encuentros presa (x) predador (y), v.g. Propocional tanto a la población de presas como de predadores en el momento t.

Puede verse que:
1. En ausencia de predadores, la presa crece en forma exponencial. Para ello basta resolver

2. En ausencia de presas, los predadores se extinguen en forma exponencial.


Lo que tenemos en realidad es un sistema de dos ecuaciones acopladas:


El punto estacionario de este sistema se encuentra cuando:

En el plano xy, eliminando el parámetro t, este punto se ubicará:

En el plano xy la solución es una familia de curvas.

La solución para este sistema de ecuaciones, gráficamente, tiene el siguiente aspecto:

Al graficar las soluciones x(t) e y(t) en forma paramétrica en el espacio de fases (x,y), obtenemos la superposición de dos funciones oscilatorias(1):
Por otro lado, las isoclinas x = const e y = const dividen la gráfica en cuatro regiones:

CRECIMIENTO LOGÍSTICO

Para entender este tema haremos una breve introducción matemática sobre las funciones logísticas.

Introducción:
La función logística o curva logística modela la función sigmoidea de crecimiento de un conjunto P. El estadio inicial de crecimiento es aproximadamente exponencial; al cabo de un tiempo, aparece la competición entre algunos miembros de P por algún recurso crítico K ("cuello de botella") y la tasa de crecimiento disminuye; finalmente, en la madurez, el crecimiento se detiene.
Una ecuación logística se define por la fórmula matemática:

MODELOS DE CRECIMIENTO

La biosfera está constituida de sistemas que cambian con el paso del tiempo. Ambos sistemas: ambiental y humano, pueden describirse por la forma de sus cambios. El modo por el cual el sistema cambia depende de la organización del sistema y del tipo de fuente de energía que está disponible. Por ejemplo, algunos ecosistemas aumentan en tamaño y complejidad mientras otros detienen su crecimiento. Algunas pequeñas ciudades pueden crecer y convertirse en ciudades grandes mientras que otras ciudades parecen permanecer del mismo tamaño durante décadas (ellas parecen haber alcanzado un estado de estabilidad). Otras ciudades disminuyen de tamaño y complejidad, industrias cierran, y los habitantes se trasladan.
La organización de un sistema puede estudiarse diseñando un diagrama del sistema (modelo). A través de los tipos de fuentes de energía en un diagrama, podemos decir como el sistema crece o disminuye. Mencionaremos uno:

Crecimiento Logístico

Las poblaciones creciendo inicialmente rápido en una fuente de presión constante, se vuelven tan numerosas que pierden su capacidad de crecer debido a interacciones entre los miembros de la población, resultando entonces un estado de equilibrio. Este tipo de crecimiento se llama crecimiento logístico.
Crecimiento logístico es el balance entre producción en proporción a la población, y a las pérdidas en proporción a la oportunidad de interacciones individuales.
El proceso de crecimiento puede ser entendido con el auxilio del diagrama de símbolos del modelo en la Figura 6.2. Un ejemplo es el crecimiento de levadura en el fermento del pan. Primeramente, el crecimiento de la población es casi exponencial. La disponibilidad de alimento es constante y como la población crece esto implica comer más y más. Sin embargo, las células de levaduras se vuelven tan numerosas que sus productos comienzan a interferir con el propio crecimiento. Resultando un estado de equilibrio entre producción y pérdida de células.

Figura 6.2 Crecimiento logístico: Crecimiento de un sistema con una fuente de energía a presión constante y una auto-interacción en un drenaje de salida.
El abastecimiento de energía es una fuente de presión constante, y la población está extrayendo energía y retroalimentando para extraer más. El crecimiento de la población es por esta razón, al principio, exponencial. No obstante, la Figura 6.2 muestra que la población, por interacciones consigo misma, crea un drenaje acelerado de energía, el cual irá eventualmente a extraer energía suficiente para detener el crecimiento de la población. En estas condiciones, el gráfico muestra el crecimiento exponencial que disminuye, y eventualmente se nivela a un estado de equilibrio. Este sistema tiene una fuente de presión constante y un drenaje de auto-interacción.
Observe que en la Figura 6.2, la etiqueta en el símbolo de depósito es "cantidad". Debemos de tener en cuenta este término genérico para denominar el contenido del depósito o también puede referirse a números de población, biomasa, depósito de energía o para todos ellos.
Otro ejemplo es el crecimiento de la población humana y sus servicios en la ciudad. El crecimiento puede aumentar exponencialmente hasta que la superpoblación de casas, calles, tiendas, y autos comience a aumentar los factores negativos de suciedad, ruido, crimen, y polución, y el coste de lidiar con esto se torne progresivamente mayor. Cuanto más crece la población, mayor es el drenaje, hasta que el crecimiento de la ciudad se nivela.