Vito Volterra (1860-1940), físico y matemático italiano fue catedrático de la universidad de Roma y senador. Su oposición al fascismo y su origen judío significaron la expulsión de su cátedra y de las sociedades científicas italianas. Exiliado en Francia hasta 1939, impartió cursos en distintos países, entre ellos España. Volterra desarrolló la solución a las ecuaciones integrales de límites variables que lleva su nombre y tras la primera guerra mundial, en la que se alistó en el cuerpo de ingenieros, se interesó por la aplicación matemática en la biología, extendiendo y desarrollando la obra del matemático belga Pierre François Verhulst, uno de los “padres” de la ecuación logística que comenté en el post sobre “teoría del caos”, cuando sobre un problema de poblaciones de peces diseñó una ecuación logística sobre el crecimiento de poblaciones competitivas expresada como sistema de dos ecuaciones diferenciales.Alfred James Lotka (1880-1949), químico, demógrafo y matemático norteamericano de origen ucraniano escribió un libro de Biología teórica y varios artículos sobre procesos oscilantes en Química, en donde de manera independiente a Volterra trabajó con la misma ecuación logística de Verhulst pero con el fin de describir una reacción química en la cual las concentraciones oscilan y estableció el modelo que hoy se conoce con el nombre de ambos Lotka-Volterra y que representa aún la base de los estudios teóricos acerca de la dinámica de poblaciones y otros modelos matemáticos en campos tan diversos como la economía, interdependencia compleja, sostenibilidad, tratamiento de plagas, etc.El sistema de ecuaciones diferenciales Lotka-Volterra (en adelante Modelo Lotka-Volterra) tiene un interés especial en el campo del Pensamiento Sistémico debido a que reúne dos características clave: aún tratándose de un modelo no lineal es sencilla de modelar con medios informáticos (aunque existen extensiones posteriores para hacerla más “realista”) y hace tangible los conceptos a veces abstractos de interdependencia y acoplamiento, esenciales desde la perspectiva sistémica pues estas son “características isomorfas” a todos los sistemas. En otro post profundizaré sobre el “isomorfismo”, verdadera madre de todas las batallas para los sistémicos.
Breve Referencia Histórica
Propuesto por primera vez en 1925 por Vito Volterra (Italia).
Objetivo: Describir las variaciones observadas en las poblaciones de peces en el Mar Adrático
Alfred Lotka (USA) trabajó sobre el mismo sistema de ecuaciones, pero con el fin de descibir una reacción química en la cual las concentraciones oscilan (1926)
Recientemente se ha intentado aplicar este juego de ecuaciones inclusive a modelación económica o turismo sostenible.
Consumidores y recursos pueden ser considerados como partículas que interactúan en un medio homogéneo (“gas”). Bajo estas condiciones la tasa de encuentros entre consumidores y recursos (“tasa de reacción”) será proporcional al producto de sus poblaciones (“masas”), es decir, se rigen por la “ley de acción de masas”.
FORMULACION:
1. La velocidad con que varía la población de presas x es proporcional a la población existente en el momento t.
2. La velocidad con que varía la población de presas x es proporcional al número de encuentros con los predadores y.
Para los predadores (y), la velociodad de variación de la población sera:
1.Proporcional al número de predadores (y) en el momento t.
2.Propocional al número de encuentros presa (x) predador (y), v.g. Propocional tanto a la población de presas como de predadores en el momento t.
Puede verse que:
1. En ausencia de predadores, la presa crece en forma exponencial. Para ello basta resolver
2. En ausencia de presas, los predadores se extinguen en forma exponencial.
Lo que tenemos en realidad es un sistema de dos ecuaciones acopladas:
El punto estacionario de este sistema se encuentra cuando:
En el plano xy, eliminando el parámetro t, este punto se ubicará:
La solución para este sistema de ecuaciones, gráficamente, tiene el siguiente aspecto:
Al graficar las soluciones x(t) e y(t) en forma paramétrica en el espacio de fases (x,y), obtenemos la superposición de dos funciones oscilatorias(1):
Por otro lado, las isoclinas x = const e y = const dividen la gráfica en cuatro regiones:
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